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% toc, too ugly!!!   2015/12/12  by hongxing xia (xiahongxing@gmail.com)


\usepackage{chronology}

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%   PRESENTATION INFORMATION
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\title{数学分析$\cdot$第一学期复习}
\subtitle{Mathematical Analysis}
%\date{\small{\jobname}}
%\date{\today}

\author{\textbf{何亮}}
\institute{\small{lbgnmic@gmail.com}}

\date{\today}

%\institute{ 西安电子科技大学 }

\hypersetup{
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}

\begin{document}

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%   TITLE PAGE
%
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\maketitle

%\begin{frame}[plain]
%   \titlepage
%\end{frame}

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%
%   TABLE OF CONTENTS: OVERVIEW
%
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\section*{概要}
\begin{frame}{目录}
\begin{columns}
    \begin{column}{.3\textwidth}
        \tableofcontents[hideallsubsections]
    \end{column}

    \begin{column}{.6\textwidth}
        \begin{figure}[H]
            \centering
            \includegraphics[scale=.5]{Art-tree.jpg}
        \end{figure}
    \end{column}
\end{columns}
\end{frame}

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%   SECTION: BACKGROUND
%
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\section{数列极限}

\begin{frame}{数列极限}
    \begin{block}{各种概念}
        \begin{itemize}
            \item 集合、元素、子集、有限集、无限集、可列集
            \item 映射、定义域、值域、单射、满射、双射
            \item 极限、收敛、发散
            \item 无穷小量、无穷大量
            \item 唯一、有界、保序、夹逼
            \item 四则运算
        \end{itemize}
    \end{block}
\end{frame}

\begin{frame}{实数连续统}
    \vspace{-1.5em}
    \begin{block}{大佬们}
        Dedekind, Cauchy, Cantor, Weierstrass, Borel, Lebesgue ...
    \end{block}

    \begin{block}{实数系基本定理}
        \begin{itemize}
            \item 确界存在定理
            \item 单调有界定理
            \item Cauchy收敛准则
            \item 致密性定理(Bolzano-Weierstrass)
            \item 闭区间套定理(Cauchy-Cantor)
            \item 有限覆盖定理(Heine-Borel)
        \end{itemize}
    \end{block}
\end{frame}

\begin{frame}[c]{实数连续统}
    \begin{exampleblock}{例题}
        \begin{enumerate}
            \item
                若自然数$n$不是完全平方数, 则
                $\sqrt n\in\mathbf R\backslash\mathbf{Q}$.\\
                {\kaishu
                反证法: $\sqrt n=p/q\Rightarrow n=
                p^2/q^2\Rightarrow q=1\Rightarrow$矛盾!}

            \vspace{2em}

            \item
                证明有理数是可列集, 实数不是可列集.\\
                {\kaishu
                (陈纪修《数学分析$\cdot$上册》P8, P61)\\
                对于实数集, 可采用类似Weierstrass大佬的方法(拆区间)}

        \end{enumerate}
    \end{exampleblock}
\end{frame}

\begin{frame}{数列极限}
    \begin{block}{一些不等式}
        \begin{itemize}
            \item
                \textbf{Bernoulli不等式} \quad
                $(1+h)^n\geqslant 1+nh, h>-1, n\in\mathbf N_+$.

            \item
                \textbf{平均值不等式} \quad
                $\displaystyle \underbrace{\frac 1n \sum_{i=1}^n a_i}
                _{\mathrm{AM}}\geqslant \underbrace{\sqrt[n]{\prod_{i=1}^n a_i}}
                _{\mathrm{GM}}\geqslant \underbrace{n\cdot
                \left(\sum_{i=1}^n\frac{1}{a_i}\right)^{-1}}_{\mathrm{HM}},
                a_i > 0$.

            \item
                \textbf{Cauchy不等式} \quad
                $\displaystyle \left(\sum_{i=1}^n a_ib_i\right)^2
                \leqslant \sum_{i=1}^n a_i^2 \sum_{i=1}^n b_i^2$.

            \item
                \textbf{绝对值不等式} \quad
                $|a+b|\leqslant |a|+|b|, |a-b|\geqslant |a|-|b|$.

            \item
                \textbf{其他} \quad
                $\displaystyle \frac{x}{1+x}\leqslant \ln(1+x) \leqslant x,
                \frac 2\pi x\leqslant \sin x\leqslant x$.
        \end{itemize}
    \end{block}
\end{frame}

\begin{frame}{数列极限}
    \begin{block}{一些重要的极限}
        \begin{itemize}
            \item
                $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{\sin \pi/n}{\pi/n}=1$.

            \item
                $\displaystyle \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac 1n\right)^n=e$.
                其中$e$为自然对数的底.

            \item
                $\displaystyle \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^n\frac 1i -\ln n
                =\gamma$. 其中$\gamma$为Euler-Mascheroni常数. ($\gamma
                \approx 0.5772156649$)\\
                或写为: $\displaystyle \sum_{i=1}^n \frac 1i
                = \ln n + \gamma + o(1)$
        \end{itemize}
    \end{block}
\end{frame}

\begin{frame}{数列极限}
    \vspace{-1.5em}
    \begin{block}{两个重要的定理}
        \begin{itemize}
            \item
                \textbf{Cauchy命题} \quad
                若$\displaystyle \lim_{n\to\infty}x_n = l$,
                则它的前$n$项算术平均值也收敛于$l$:
                $\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac1n \sum_{i=1}^n x_i=l$.
                其中$l$可以是常数， 可以是定向无穷大.

            \item
                \textbf{Stolz定理}(下述$l$性质同上述命题中$l$)
                \begin{itemize}
                    \item
                        $\dfrac 00$型: $\{a_n\}, \{b_n\}$均为无穷小量,
                        其中$\{a_n\}$严格单调递减,\\
                        若$\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{b_{n+1}-b_n}
                        {a_{n+1}-a_n}=l$, 则$\displaystyle \lim_{n\to\infty}
                        \frac{b_n}{a_n}=l$.

                    \item
                        $\dfrac *\infty$型: 若$\{a_n\}$为严格单调递增的无穷大量,
                        若$\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{b_{n+1}-b_n}
                        {a_{n+1}-a_n}=l$, 则$\displaystyle \lim_{n\to\infty}
                        \frac{b_n}{a_n}=l$.
                \end{itemize}

        \end{itemize}
    \end{block}
\end{frame}

\begin{frame}{数列极限}
    \vspace{-1.5em}
    \begin{exampleblock}{例题}
        \begin{enumerate}
            \item
                证明$\displaystyle \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{n}=1$.(定义、AM-GM)

            \item
                求极限$\displaystyle \lim_{n\to\infty}
                \frac{1!+2!+\cdots+n!}{n!}$.(夹逼、Stolz)

            \item
                证明$\displaystyle S_n=1+\frac 12+\frac 13+\cdots+\frac 1n$发散.
                ($S_{2^n}\geqslant 1+n/2$)

            \item
                证明$\displaystyle a_n=\frac{1}{n+1}+\cdots+\frac{1}{2n}$收敛.
                (单调有界、Euler常数)

            \item
                计算极限$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\underbrace{
                \sqrt{2+\sqrt{2+\cdots+\sqrt 2}}}_{n ~ \mathrm{times}}$.
        \end{enumerate}
    \end{exampleblock}
\end{frame}

\section{连续函数}

\begin{frame}{连续函数}
    \begin{block}{各种概念}
        \begin{itemize}
            \item 函数极限、单侧极限、唯一性、局部保号性、局部有界性、夹逼性、四则运算
            \item 连续、单侧连续、间断点、反函数
            \item 无穷小量、无穷大量、阶
            \item 有界性定理、最值定理、零点存在定理、介值定理、Cantor定理
        \end{itemize}
    \end{block}
\end{frame}

\begin{frame}{连续函数}
    \vspace{-1.5em}
    \begin{exampleblock}{例题}
    {\zihao{-5}
        \begin{enumerate}
            \item
                $\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\tan x-\sin x}{x^3}$.

            \item
                $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}
                \left(1+\frac{x}{x^2+2x-4}\right)^{1/\sin(1/x)}$.

            \item
                $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}x\left(
                \frac \pi 4-\arctan \frac{x}{x+1}\right)$.

            \item
                设函数$f$在$x=0$处连续, 对每一个$x\in\mathbf R$成立
                $f(x)=f(2x)$.\\
                证明: $f$为常值函数.

            \item
                设$x_1, x_2, x_3>0$, 且$\lambda_1 < \lambda_2 < \lambda_3$,
                证明方程
                \[
                    \displaystyle \frac{x_1}{x - \lambda_1}+
                    \frac{x_2}{x - \lambda_2} + \frac{x_3}{x - \lambda_3} = 0
                \]
                在区间$(\lambda_1, \lambda_2)$和$(\lambda_2, \lambda_3)$
                内恰好各有一个根.
        \end{enumerate}
    }
    \end{exampleblock}
\end{frame}

\section{微分}

\begin{frame}{微分}
    \begin{block}{微分}
        \begin{enumerate}
            \item
                陈纪修《数学分析$\cdot$上册》P139.(基本的求导公式)

            \item
                $\displaystyle \frac{\dd}{\dd x}e^x(\sin x+x\cos x)$.
                ($e^x$的特殊性)

            \item
                若$y=x^{xy}$, 求$\dfrac{\dd^2y}{\dd x^2}$.(``对数求导法'')

            \item
                摆线的参数方程为: $\displaystyle \begin{cases}
                    x=t(1-\sin t)&\\
                    y=t\cos t&
                \end{cases}$, 求$\displaystyle \frac{\dd y}{\dd x}$.

            \item
                求$n$阶\alert{微分}$\displaystyle \dd ^n(x^2e^{-2x})$.
                (Leibniz公式)
        \end{enumerate}
    \end{block}
\end{frame}

\begin{frame}{微分}
    \vspace{-1.5em}
    \begin{block}{中值定理}
        \begin{enumerate}
            \item
                求极限$\displaystyle \lim_{n\to\infty}n^2
                \left(\arctan \frac an-\arctan \frac{a}{n+1}\right)$.

            \item
                设函数$f(x)$在$[0, 1]$, 在$(0,1)$上可导, 且$f(0)=f(1)=0,
                f(1/2)=1$. 证明:
                \begin{itemize}
                    \item
                        存在$\xi\in(1/2,1)$, 使得$f(\xi)=\xi$.

                    \item
                        对于任意实数$\lambda$, 必存在$\eta\in(0,\xi)$, 使得
                        \[
                            f'(\eta)-\lambda[f(\eta)-\eta]=1.
                        \]
                \end{itemize}

            \item
                设$f$在$[a,b]$上连续($ab>0$), 在$(a,b)$上可导,
                证明: 存在$\xi\in(a,b)$, 使得$\displaystyle
                    \frac{1}{b-a}\begin{vmatrix}
                        a & b \\ f(a) & f(b)
                    \end{vmatrix}=\xi f'(\xi)-f(\xi)$.

        \end{enumerate}
    \end{block}
\end{frame}

\begin{frame}{微分}
    \begin{block}{Taylor公式}
        \begin{itemize}
            \item
                $\displaystyle e^x = 1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+o(x^n)$.

            \item
                $\displaystyle \sin x = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}
                -\cdots + (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+o(x^{2n+2})$.

            \item
                $\displaystyle \cos x = 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}
                -\cdots + (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n+1})$.

            \item
                {\footnotesize $\displaystyle (1+x)^\alpha = 1+ \alpha x+
                \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\cdots+
                \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n+o(x^n)$.}

            \item
                $\displaystyle \ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}
                -\cdots +(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}+o(x^n)$.
        \end{itemize}
    \end{block}
\end{frame}

\begin{frame}{微分}
    \begin{exampleblock}{例题}
        \begin{enumerate}
            \item
                $\displaystyle \lim_{x\to 0^+}\big(\frac 1x\big)^{\tan x}$.

            \item
                $\displaystyle \lim_{x\to\pi}(\pi-x)\tan \frac x2$.

            \item
                $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}
                \left((x^3-x^2+\frac x2)e^{1/x}-\sqrt{x^6-1}\right)$.

            \item
                $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left(
                x-x^2\ln\big(1+\frac 1x\big)\right)$.

            \item
                $\displaystyle \lim_{x\to 0}
                \frac 1x \left(\frac 1x-\cot x\right)$.
        \end{enumerate}
    \end{exampleblock}
\end{frame}

\section{积分}

\begin{frame}{积分}
    \begin{block}{不定积分}
        \begin{multicols}{2}
        \begin{enumerate}
            \item
                $\displaystyle \int \frac{\dd x}{(\arcsin x)^2\sqrt{1-x^2}}$

            \item
                $\displaystyle \int \frac{\arctan \sqrt x}{\sqrt x(1+x)}\dd x$

            \item
                $\displaystyle \int \ln(x+\sqrt{1+x^2})\dd x$

            \item
                $\displaystyle \int e^{-ax}\sin bx\dd x$

            \item
                $\displaystyle \int \frac{\sqrt x-1}{\sqrt[3]{x}+1}\dd x$

            \item
                \alert{
                $\displaystyle \int e^{\sin x}\frac{x\cos^3x-\sin x}{\cos^2x}
                \dd x$}
        \end{enumerate}
        \end{multicols}
    \end{block}
\end{frame}

\begin{frame}{积分}
    \begin{block}{定积分}
    \begin{enumerate}
        \item
            $\displaystyle \lim_{n\to\infty}
            \frac{1^p+2^p+\cdots+n^p}{n^{p+1}} \quad (p>0)$.

        \item
            $\displaystyle \int_0^\infty \frac{\dd x}{1+x^4}$.

        \item
            $\displaystyle \int_0^\pi \frac{x\sin x}{1+\sin^2x}\dd x$.

        \item
            $\displaystyle \int_0^1 x\sqrt{\frac{x}{2-x}}\dd x$.

        \item
            证明: $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\int_0^{\pi/2}\sin^nx\dd x=0$.
    \end{enumerate}
    \end{block}
\end{frame}

\section{补充习题}

\begin{frame}{补充习题}
    \vspace{-1.5em}
    \begin{exampleblock}{极限}
        {\zihao{6}
            \begin{enumerate}
                \item
                    计算极限$\displaystyle \lim_{n\to\infty}
                    \left(1+\frac 12+\cdots+\frac 1n\right)^{\frac1n}$.

                \item
                    计算极限$\displaystyle \lim_{n\to\infty}(1+x)(1+x^2)
                    \cdots(1+x^{2^n})$, 其中$|x|<1$.

                \item
                    计算极限$\displaystyle \lim_{n\to\infty}
                    \left(\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}
                    +\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}\right)$.

                \item
                    计算极限$\displaystyle \lim_{n\to\infty}
                    \left(1-\frac{1}{2^2}\right)\left(1-\frac{1}{3^2}\right)
                    \cdots\left(1-\frac{1}{n^2}\right)$.

                \item
                    \alert{
                    对于每个自然数$n$, 用$x_n$表示方程$x+x^2+\cdots+x^n=1$
                    在闭区间$[0,1]$中的根,
                    求$\displaystyle \lim_{n\to\infty}x_n$.
                    }

                \item
                    计算极限$\displaystyle
                    \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n^2}\right)
                    \left(1+\frac{2}{n^2}\right)\cdots
                    \left(1+\frac{n}{n^2}\right)$.

                \item
                    计算极限$\displaystyle \lim_{n\to\infty}
                    \frac{\ln n}{1+\dfrac12 +\cdots + \dfrac1n}$.
            \end{enumerate}
        }
    \end{exampleblock}
\end{frame}

\begin{frame}{补充习题}
    \vspace{-1.5em}
    \begin{exampleblock}{极限}
        {\zihao{6}
        \begin{enumerate}
            \setcounter{enumi}{7}
            \item
                设$\displaystyle A>0, x_1>0, x_{n+1}=\frac 12
                \left(x_n+\frac{A}{x_n}\right)$,
                证明: $\displaystyle \lim_{n\to\infty} x_n=\sqrt A$.

            \item
                设$\displaystyle a_n=\sum_{k=1}^n \left(\sqrt{1+\frac{k}{n^2}}-1
                \right)$, 计算$\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n$.

            \item
                给定$p$个正数$a_1, a_2, \cdots, a_p$, 求
                $\displaystyle \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{\sum_{i=1}^p a_i^n}$.

            \item
                设$a_0, a_1, \cdots, a_p$是$p+1$个给定的数,
                且满足条件$a_0+a_1+\cdots+a_p=0$. 求$\displaystyle
                \lim_{n\to\infty} \sum_{i=0}^p a_i\sqrt{n+i}$.

            \item
                若$\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\alpha,
                \lim_{n\to\infty}b_n=\beta$, 证明:
                $\displaystyle \lim_{n\to\infty}
                \frac{a_1b_n+a_2b_{n-1}+\cdots+a_nb_1}{n}=\alpha \beta$.

            \item
                设$\{a_n+a_{n+1}\}$和$\{a_n+a_{n+2}\}$都收敛,
                证明: $\{a_n\}$收敛.

            \item
                设对每个$n$有$x_n<1$和$(1-x_n)x_{n+1}\geqslant \dfrac 14$,
                证明: $\{x_n\}$收敛并求极限.
        \end{enumerate}
        }
    \end{exampleblock}
\end{frame}

\begin{frame}{补充习题}
    \vspace{-1.5em}
    \begin{exampleblock}{极限}
        {\zihao 6
            \begin{enumerate}
                \setcounter{enumi}{14}
                \item
                    求$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{[n]}{n}$,
                    $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\prod_{i=1}^n
                    \frac{2i-1}{2i}$, $\displaystyle \lim_{n\to\infty}
                    (n!)^{1/n^2}$.

                \item
                    计算极限$\displaystyle \lim_{n\to\infty}
                    \frac{1^k+2^k+\cdots+n^k}{n^{k+1}}$.

                \item
                    \alert{设极限$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n a_i$
                    存在, 试求极限$\displaystyle \lim_{n\to\infty}
                    \left(n!\cdot a_1a_2\cdots a_n\right)^{\frac 1n}$.}

                \item
                    设正数列$\{x_n\}$收敛, 极限大于$0$. 证明: 这个数列有正下界,
                    但在数列中不一定有最小数.

                \item
                    证明: 若有$\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=+\infty$,
                    则在数列$\{a_n\}$中一定有最小数.

                \item
                    设$\displaystyle x_n=\frac{\sin 1}{2} + \frac{\sin 2}{2^2}
                    + \cdots + \frac{\sin n}{2^n}$, 证明: $\{x_n\}$收敛.
        \end{enumerate}
        }
    \end{exampleblock}
\end{frame}

\begin{frame}{补充习题}
    \begin{exampleblock}{极限}
        {\zihao{6}
        \begin{enumerate}
            \setcounter{enumi}{20}
            \item
                计算极限$\displaystyle \lim_{x\to 1}\left(\frac{m}{1-x^m}-
                \frac{n}{1-x^n}\right), m,n\in\mathbf N_+$.

            \item
                计算极限$\displaystyle \lim_{x\to 0}
                \left(\frac{1+\tan x}{1+\sin x}\right)^{1/\sin x}$.

            \item
                计算极限$\displaystyle \lim_{x\to\infty}\left(
                \sin \frac 1x + \cos \frac 1x\right)^x$.

            \item
                计算极限$\displaystyle \lim_{x\to 0}\left(\frac{a^x+b^x+c^x}
                {3}\right)^{1/x}, a>0,b>0,c>0$.

            \item
                计算极限$\displaystyle \lim_{x\to 0}
                \frac{\cos(xe^x)-\cos(xe^{-x})}{x^3}$.
        \end{enumerate}
        }
    \end{exampleblock}
\end{frame}

\begin{frame}{补充习题}
    \begin{exampleblock}{微分}
        {\zihao{6}
        \begin{enumerate}
            \setcounter{enumi}{25}
            \item
                计算$\displaystyle \frac{\dd}{\dd x}\ln\tan\left(
                \frac x2 + \frac\pi 4\right)$.

            \item
                计算$\displaystyle \frac{\dd}{\dd x}\arctan
                \frac{1+x}{1-x}$.

            \item
                $f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}$,
                $f_n(x)=f(f(\cdots f(x)))(n\mbox{个}f)$,
                求$\displaystyle \frac{\dd f_n(x)}{\dd x}$.

            \item
                讨论$\displaystyle f(x)=\begin{cases}
                    \dfrac 1x-\dfrac{1}{e^x-1}, & x\neq 0\\
                    \dfrac 12, & x=0
                \end{cases}$在$x=0$处的连续性与可微性.

            \item
                设$[0,a]$上$|f''(x)|\leqslant M$, $f(x)$在$(0,a)$内取最大值,
                试证: $\displaystyle |f'(0)|+|f'(a)|\leqslant Ma$.

            \item
                已知$x<0$, 求证: $\displaystyle \frac 1x+\frac{1}{\ln(1-x)}<1$.
        \end{enumerate}
        }
    \end{exampleblock}
\end{frame}

\begin{frame}{补充习题}
    \begin{exampleblock}{积分}
        {\zihao{6}
        \begin{enumerate}
            \setcounter{enumi}{31}
            \item
                计算积分$\displaystyle \int_0^\infty
                \frac{\ln x}{1+x^2}\dd x$.

            \item
                证明$\displaystyle \int_0^\infty \frac{\dd x}{(1+x^2)(1+x^a)}$
                与$a$无关.

            \item
                计算积分$\displaystyle \int_a^b \frac{\dd x}
                {\sqrt{(x-a)(b-x)}} \quad (b>a)$.

            \item
                计算积分$\displaystyle \int_0^1 x^n\ln^m x\dd x$.

        \end{enumerate}
        }
    \end{exampleblock}
\end{frame}


\begin{frame}{补充习题}
    \vspace{-1.5em}
    \begin{exampleblock}{提示}
        {\zihao{6} \kaishu
        \begin{multicols}{2}
            \begin{enumerate}
                \item $1$. 夹逼.
                \item $1/(1-x)$. 左边乘除$(1-x)$.
                \item $1$. 同1.
                \item $1/2$. 裂项.
                \item $1/2$. 判断$x_n$的单调性, 夹逼.
                \item $\sqrt e$. 利用「一些不等式」中的不等式.
                \item $1$. Stolz定理或Euler常数.
                \item 单调递减有下界.
                \item $1/4$. 分母无理化, 夹逼.
                \item $\max\limits_{i=1,2,\cdots,p}\{a_i\}$. 夹逼.
                \item $0$. 利用$\sum a_i=0$整理并计算\\
                $a_0\sqrt n+\sum_{i=1}^p a_i\sqrt{n+i}$的极限.
                \item 类似Cauchy命题的证明.
                \item ``凑''出一个$\{a_n\}$来, 利用四则运算.
                \item $1/2$. 显然有$(1-x_n)x_n\leqslant 1/4$由此得到单调性.
                夹逼即可.
                \item $1$. 利用不等式$x-1<[x]\leqslant x$.($1$)\\
                    利用$(2i-1)/(2i)< (2i)/(2i+1)$.($0$)\\
                    $\square = \exp\{\ln\square\}$, 夹逼.
                \item $1/(1+k)$. 分母利用二项式展开即可.
                \item $0$. 利用AM-GM不等式放缩, 转化为求$\frac 1n \sum_{i=1}^n ia_i$
                的极限. 令$S_i=\sum_{i=1}^n a_i$, 则$S_n$极限存在.
                观察可知$\sum_{i=1}^n ia_i=nS_n-\sum_{i=1}^{n-1} S_i$,
                由Cauchy命题可得此极限, 结合前面的放缩, 夹逼得出答案.
                \item 保序性. 反例为$1/n+\varepsilon_0$, 其中$\varepsilon_0>0$.
                \item 按无穷大量定义, ``拆''成两部分.
                \item Cauchy收敛准则.
            \end{enumerate}
        \end{multicols}
        }
    \end{exampleblock}
\end{frame}

\begin{frame}{补充习题}
    \vspace{-1.5em}
    \begin{exampleblock}{提示}
        {\zihao{6} \kaishu
        \begin{multicols}{2}
            \begin{enumerate}
                \setcounter{enumi}{20}
                \item $(m-n)/2$. 通分, 令$t=1-x$, 则$t\to 0$, 利用
                $(1+x)^\alpha = 1+\alpha x+\alpha(\alpha+1)x^2/2+o(x^2)$.
                \item $1$. ``指数化'', 并利用$\ln(1+x)\sim x, \sin x\sim x$.
                \item $e$. 同上.
                \item $\sqrt[3]{abc}$. 利用等价$a^x\sim x\ln a$.
                \item $-2$. 和差化积或$\pm 1$.
                \item $\sec x$.
                \item $1/(1+x^2)$. 可以利用\\
                $\arctan x+\arctan y = \arctan \frac{x+y}{1-xy}$.
                \item 规律自找$\sim$
                \item $f'(0)=-1/12.$
                \item $f'(x_0)-f(0)=f''(\xi_1)x_0,
                    f'(a)-f'(x_0)=f''(\xi_2)(a-x_0), f'(x_0)=0$.
                \item 略.
                \item $0$.
                \item $I=\pi/4$. 从$1$处拆开, 倒代换.
                \item $\pi$.
                \item $(-1)^m(n+1)^{-m-1}m!$. 递推.
            \end{enumerate}
        \end{multicols}
        }
    \end{exampleblock}
\end{frame}

\begin{frame}[plain]
    \begin{figure}[H]
        \centering
        \includegraphics[scale=.3]{haha.jpg}
    \end{figure}
\end{frame}

\end{document}
